原則として、役所の窓口は平日（月～金）の開庁時間のみです。
ただし、以下の例外があります。
1. 日曜開庁：一部の自治体では日曜の午前中などに窓口を開けています。
2. コンビニ交付：マイナンバーカードがあれば、住民票や印鑑証明はコンビニで取得可能です（転出・転入届は窓口が必要です）。

正当な理由なく届出が遅れた場合、住民基本台帳法により最大5万円以下の過料（罰金のようなもの）が科される可能性があります。
また、児童手当や保険証が使えない期間が発生するなどデメリットが大きいため、過ぎてしまった場合でも気づいた時点で速やかに手続きを行ってください。

はい、可能です。
ただし、同一世帯の家族以外（別世帯の親族や友人など）が手続きを行う場合は、「委任状（いにんじょう）」が必要です。
委任状の様式は各自治体のホームページからダウンロードできます。また、代理人の本人確認書類も忘れずに持参してください。

必ず「役所」が先です。
警察署での運転免許証の住所変更には、「新しい住所が記載された住民票」または「裏書き済みのマイナンバーカード」が必要になるためです。

※公共料金の領収証なども有効ですが、引越し直後はまだ手元にない場合が多いため、役所で転入手続きをしたその足で住民票を取得するか、マイナンバーカードの住所変更を行ってから警察署へ向かうルートが最も効率的です。